AG_BOUNC.GIF (4893 bytes) CIRCUITOS ACOPLADOS:

Consideremos dos circuitos acoplados formados por una bobina y una espira que tienen el mismo eje y están situadas en planos paralelos separados una distancia z. La bobina está formada por N espiras apretadas de radio a, y la espira tiene un radio b.

La bobina constituye el primario de nuestro circuito acoplado, por el que va a circular una corriente alterna de frecuencia angular w y intensidad I1

I1 = I01·sen(w t)

Queremos calcular la intensidad I2 que circulará por la espira (secundario) sabiendo que su resistencia es R.

Hemos mencionado al explicar el concepto de inducción mutua los pasos que hemos de seguir para calcular el coeficiente de inducción mutua M entre ambos circuitos:

AG_BOUNC.GIF (4893 bytes) CAMPO MAGNÉTICO PRODUCIDO POR EL PRIMARIO:

Vamos a calcular el campo magnético por una espira circular en un punto fuera del eje de la espira. La ley de Biot-Savart afirma que el campo producido por una corriente I1 se obtiene

Donde dl es un elemento de corriente, es un vector unitario que señala la dirección y sentido de la corriente, y es un vector unitario que señala el punto P donde se calcula el campo magnético.

 

El campo producido por una espira de radio a tiene simetría axial, bastará calcular las componentes By y Bz del campo magnético en un punto P (0, y, z) del plano YZ.

Como vemos en la figura la distancia r entre el elemento de corriente dl = a·df que está situado en el punto (a·cosf , a·senf , 0) y el punto P (0, y, z) considerado

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Efectuando el producto vectorial , nos queda las componentes del campo

La primera integral es inmediata y vale cero Bx= 0, ya que para cada elemento de corriente dl existe otro simétrico al plano OYZ cuyo efecto es el de anular la componente X del campo magnético

Las componentes del campo son

Cuando y = 0, es decir, el campo en en un punto del eje de la espira, podemos comprobar fácilmente que By = 0, y que

Si el punto P está lejos de la espira, es decir, si se cumple que

Entonces podemos aproximar el denominador de las dos integrales que nos calculan el campo By y Bz:

Donde hemos llamado ahora r a

Las componentes del campo para r >> a, son aproximadamente

El campo creado por una bobina de N espiras apretadas es N veces el campo producido por una de las espiras.

AG_BOUNC.GIF (4893 bytes) FLUJO DEL CAMPO MAGNÉTICO A TRAVÉS DEL SECUNDARIO:

Para calcular el flujo del campo magnético producido por el primario a través del área encerrada por la espira de radio b (secundario).

Dado que el plano de la espira es perpendicular al eje Z, el flujo de la componente Y del campo es nulo.

El elemento diferencial de área es el área de un anillo de radio y y de espesor dy, su área es dS = 2p y·dy

    AG_BOUNC.GIF (4893 bytes) COEFICIENTE DE INDUCCIÓN MUTUA:

Se define coeficiente de inducción mutua M como el cociente entre el flujo que atraviesa el secundario F2 entre la intensidad que circula por el primario I1.

Si la espira está alejada de la bobina, podemos obtener una expresión aproximada para M siempre que se cumpla que

La expresión del coeficiente de inducción mutua M es

    AG_BOUNC.GIF (4893 bytes) LEY DE FARADAY:

La corriente alterna que circula por el solenoide produce un campo magnético que varía con el tiempo. El flujo F2 de dicho campo a través del anillo es

F2 = M·I1

donde M es el coeficiente de inducción mutua del sistema formado por el solenoide y el anillo, I1 es de la intensidad de la corriente en el solenoide que varía con el tiempo de la forma

I1 = I01·sen(w t)

Donde I01 es la amplitud y w frecuencia angular w = 2pf. En Europa f = 50 Hz y en Estado Unidos f = 60 Hz.

Aplicando la ley de Faraday, se obtiene la fem inducida Ve en el anillo como resultado del cambio del flujo que lo atraviesa con el tiempo. Aplicando la ley de Lenz y, se determina el sentido de la corriente inducida

La corriente inducida I2 en la espira de resistencia R es

    AG_BOUNC.GIF (4893 bytes) ACTIVIDADES Y MANEJO DEL APPLET:

En la simulación tenemos dos circuitos acoplados

Se introducen los siguientes datos relativos a la corriente que circula por el primario.

Para una espira de radio b, hecha de un cable de aluminio de resistividad r = 2.8·10-8 W ·m cuya sección es de 5 mm de radio 

R = 2.24·10-3b W.

La resistencia se ha elegido de modo que la intensidad de la corriente en la espira (secundario) sea del mismo orden de magnitud que la corriente en la bobina (primario).

A continuación los datos relativos a la espira (secundario):

Se pulsa el botón titulado Empieza.

Podemos ver la corriente en la bobina (primario) representada por el movimiento de puntos de color azul.

La corriente inducida en la espira (secundario) representada por el movimiento de los puntos de color rojo.

Se representa las componentes del campo magnético By y Bz en los siguientes puntos (0, z), (b/2, z), (b, z) y sus simétricos, mediante flechas de color azul.

Se representa la corriente en la bobina (primario) y la corriente inducida en la espira (secundario) en función del tiempo en la parte derecha del applet.

En la parte superior del applet se muestra el valor del coeficiente de inducción mutua M.

Se sugiere al lector que comprueba la ley de Lenz. El sentido de la corriente inducida cada cuarto de periodo.

        Ejemplo 1:

Si el radio de la espira b = 3.5 cm y la distancia z = 5 cm el coeficiente de inducción mutua vale M = 9.67·10-7 H. La resistencia de la espira vale

R = 2.24·10-3·0.035 = 7.84·10-5 W

Si por el primario circula una corriente de frecuencia f = 50 Hz y la amplitud de la intensidad vale I01 = 10 A. La intensidad inducida que circula por la espira (secundario) es

La amplitud de la intensidad inducida es I02 = 38.7 A.

        Ejemplo 2:

La espira tiene un radio b pequeño y está alejada de la bobina.

Por ejemplo b = 1 cm y z = 10 cm.

El coeficiente de inducción mutua podemos calcularlo por la fórmula aproximada

Mediante cálculo numérico el valor que obtenemos es de 2.01·10-8 H

La resistencia de la espira es

R = 2.24·10-3·0.01 = 2.24·10-5 W

Si por el primario circula una corriente de frecuencia f = 50 Hz y la amplitud de la intensidad vale I01 = 10 A.

La intensidad inducida que circula por la espira (secundario) es

La amplitud de la intensidad inducida es I02 = 2.82 A.

    AG_BOUNC.GIF (4893 bytes) EL APPLET:

FemApplet aparecerá en un explorador compatible JDK 1.1